Fonction trinôme du second degré

Progression 2016-2017 math 1S

Progression 2016-2017 math 1S

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  1. Second degré, équations et inéquations §1
  2. Vecteurs et colinéarité §7
  3. Dérivation, étude de fonction §2,3
  4. Trigonométrie angles orientés §8
  5. Fonctions dérivées §4
  6. Suites numériques §5
  7. Probabilité variables aléatoires §12
  8. Comportement d'une suite §6
  9. Loi binomiale §13
  10. Produit scalaire §9,10
  11. Statistiques et échantillonnage §11

1.Fonction trinôme du second degré


  \newcommand{\Cf}{\mathscr{C}_f}
  \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  \newcommand{\met}{\text{ et }}
  \newcommand{\mavec}{\text{ avec }}
  \newcommand{\xvec}[1]{\mkern 1.5mu \overrightarrow{ \mkern-1.5mu#1 \mkern-1.5mu} \mkern 1.5mu} %vecteurs

Cours du début d'année

Rappels

On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur \R par f(x)=ax^2+bx+ca,b \met c sont trois nombres connus, et a \neq 0.

  • Représentation graphique. Sens de variation
    • La courbe représentative d'une fonction trinôme est une parabole
    • Pour le sens de variation, on admet les résultats suivants.

Forme canonique

Un même polynôme peut s'écrire de diverses façons :

\begin{align} 2x^2-4x-6 \quad &; \quad 2(x+1)(x-3) \quad &; \quad 2(x-1)^2 -8 \end{align}

Chaque forme a des avantages et des inconvénients.

Tout trinôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c\ (\mavec a\neq0) s'écrit sous la forme a(x-\alpha)^2+\beta, avec \alpha =-\dfrac{b}{2a}. Cette forme est appelée forme canonique.

au tableau

  • Remarque

    Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour coordonnées (\alpha;\beta).

Équation du second degré


    \newcommand{\trinome}{$ax^2+bx+c,\ (a\neq 0)$}
    \newcommand{\etri}{$ax^2+bx+c=0,\ (a\neq 0)$}
    \newcommand{\D}{\Delta}

Résoudre l'équation \etri, c'est trouver (s'il en existe) tous les nombres qui vérifie cette égalité. On appelle un tel nombre solution de l'équation. Parce que l'un des membres de cette équation est nul, ses solutions sont les racines du trinôme \trinome.

  • Approche graphique

    Trois types de cas sont possible lorsque a>0 :

    • f(x)=2x^2+4x+6
    • f(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)^2
    • f(x)=x^2+2x+2

    La représentation graphique d'une fonction trinôme f permet de conjecturer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0. Dans les trois exemples précédents, par simple lecture, on conjecture respectivement deux solutions, une solution et aucune solution.

  • Résolution de l'équation ax^2+bx+c=0,\ (a\neq 0)

    Le nombre de solutions (ou racines) de l'équation ax2+bx+c=0,\ (a≠ 0), dépend du signe du nombre \Delta égale à b^2-4ac. Ce nombre \Delta est appelé discriminant du trinôme ax^2+bx+c.

    \Delta <0 \D=0 \D>0
    pas de solution Une solution dite "double": Deux solutions distinctes:
      x_0=-\dfrac{b}{2a}=\alpha x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\D}}{2a}\quad  \met\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\D}}{2a}

    au tableau

  • Forme factorisée

    La démonstration du point précédent nous permet d'obtenir une factorisation de f(x) lorsque \D\geq0 :

    • Si \D=0,\ f(x)=a(x-x_0)^2
    • Si \D>0,\ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
  • Approche graphique
  • Résolution algébrique

    [Signe du trinôme]

    au tableau

  • Application à la résolution d'inéquations
    • Exemple. Résolution de -x^2+3x-2 \geq 0

Vendredi 9 septembre 2016

  • Correction des exercices p. 38 : n°45(prof), 47, 53b et un au choix.
  • Cours:
    • Résolution d'inéquations du 2nd degré
      • Approche graphique
      • Approche algébrique
  • Mise en pratique p. 31 : exercice n°11.
  • DM pour mercredi 14 septembre: exercices n° 7 à 9 (sans calculer le discriminant) et 10 à 14 p. 31

Cours

  • Résolution d'inéquations du 2nd degré
    • Approche graphique

      Résoudre f(x)\geq k c'est :

      1. identifier la portion de la courbe représentative de f (\Cf) au dessus de la droite (d) d'équation y=k.
      2. puis, nommer à l'aide d'un intervalle ou d'une notation ensembliste, les abscisses x des points appartenant (\in) à cette portion de \Cf.
      • Exemple:

        démo géogebra

        • Pour résoudre f(x)\leq k on cherche la portion de \Cf en dessous de la droite y=k.
        • Si nous avons des inégalités strictes, on veille à exclure de la solution les abscisses des points communs à la droite et à la courbe.
    • Approche algébrique

      Résoudre ax^2+bx+c\geq 0 revient à résoudre ax^2+bx+c-k \geq 0. Pour cela on cherche les racines (si elles existent) du trinôme f(x)=ax^2+bx+c' avec c'= c-k.

      trois cas se présentent:

      \Delta < 0
      \nexists de racines. f(x) est du signe de a sur \R.
      \Delta=0
      \exists ! racine, x_0=\dfrac{-b}{2a}. f(x) s'annulle en x_0 et est du signe de a le reste de \R c'est à dire sur \R-\{x_0\}.
      \Delta>0
      \exists deux racines x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. Le trinome f(x):
      • s'annulle en x_1 et x_2,
      • il est du signe de -a entre les racines c'est à dire sur [x_1;x_2],
      • et il est du signe de a à l'extérieur racines c'est à dire sur ]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[.

Mise en pratique

Mercredi 14 septembre 2016

Infos

Vous pouvez aussi consulter le site ecole.numerique.ci sur lequel j'essaye de garder à jour avec les cours, les devoirs et les corrigés.

Démonstrations
  1. des formules du \alpha et du \beta ;
  2. des formules du \Delta et des racines du trinôme (quand elles \exists) ;
  3. des formules pour trouver le signe du trinôme.
Correction
Objectif 3C et D p. 30, 31 (n°8, 11 & 13)
TP
série d'exercices
  • pour apprendre à chercher (n°26 et 28 p.34)
  • sur les équations et inéquations avec une inconnue au dénominateur (n°15 et 18 p.32 /couvert avec le n°…)
  • sur la mise en équation (n°59 couvet avec le n° p. 39)
  • pour aller plus loin (n°88 et 91 p.42)
Devoir
pour vendredi 16
Finir les exercices p. 32 et faire le 27 p. 34.
Travail en autonomie
Vous pouvez faire de façon autonome et me rendre les exercices p. 46, jusqu'au vendredi 23 septembre.
pour lundi 19
préparer le Contrôle de fin de chapitre

Vendredi 16 septembre 2016

Calcul Mental (CM)
Racines et négatifs (11s) –> cm.jeduque.net
TP
n°87 et 91 p.42
Correction
des exercices du jour
Devoir
Pour lundi prochain
un contrôle de 40 minutes
  • connaître l'utilité de chacune des trois formes d'un trinôme du 2nd degré,
  • savoir ses formules,
  • savoir mettre en équation un problème,
  • savoir résoudre des inéquations du 2nd degré.
Pour vendredi 7 octobre
faire un programme avec scratch (scratch.mit.edu) qui trace une droite entre deux lutins lorsque le drapeau vert est cliqué. Nommer le fichier avec votre nom et le téléverser sur ecole.numerique.ci

Author: Malik Koné

Created: 2016-11-08 mar. 11:32

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Modifié le: mardi 8 novembre 2016, 11:34